Задание 1

Для производства продукции типа П1 и П2 предприятие использует три вида

сырья: С1 , С2 и С3. Данные об условиях приведены в таблице.

Составьте план производства по критерию «максимум прибыли». Определите остатки каждого вида сырья.

1) Составьте математическую модель задачи.

2) Решите задачу симплекс-методом.

3) Решите задачу графическим методом. Покажите соответствие опорных решений, полученных при решении симплекс-методом, и угловых точек – вершин

допустимой области.

4) Найдите решение двойственной задачи, используя теоремы двойственности.

Задание 2

1)Решите симплексным методом с искусственным базисом задачу линейного

программирования.

2)Составьте задачу, двойственную исходной задаче.

Задание 3

Доски длиной 4.1 м, имеющиеся в достаточном количестве, следует распилить на заготовки двух видов: длиной 1.6 м и длиной 1.1 м. Заготовок первого вида должно быть получено не менее 50 штук, заготовок второго вида – не менее 51 штук. Каждая доска может быть распилена на указанные заготовки несколькими способами. Определить, сколько досок надо распилить каждым способом, чтобы необходимое количество заготовок было получено из наименьшего числа досок.

1. Составьте  математическую модель в виде задачи линейного программирования, указав предварительно все возможные способы распила доски на заготовки нужной длины.
2. Решите задачу методом отсечений (методом Гомори).

Задание 4

Предприятие может выпускать три вида продукции A₁, A₂, A₃, получая прибыль, зависящую от спроса на эту продукцию. Спрос, в свою очередь, может принимать одно из четырех состояний B₁, B₂, B₃, B₄. В матрице элементы a_ij характеризуют прибыль, которую получает предприятие при выпуске продукции Ai и состоянии спроса B_j:

Определите оптимальные пропорции выпускаемой продукции, считая состояние спроса полностью определенным, гарантируя при этом среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса.

Указание:

1. Представить задачу как матричную игру двух лиц (предприятие - спрос) с нулевой суммой, исключив заведомо не выгодные стратегии игроков.
2. Найдите оптимальные стратегии и цену игры сведением игры к паре симметричных двойственных задач линейного программирования.
3. Определите оптимальные пропорции выпускаемой продукции.

Задание 5

Проведите две итерации методом наискорейшего спуска в задаче нелинейного программирования без ограничений

Указание:

1. Начав из исходной точки , найдите одномерные минимумы на каждой итерации аналитически, используя необходимое условие существования экстремума.
2. Покажите на графике направления спуска и последовательные приближения к точке минимума.
3. Вычислите значение целевой функции в исходной точке и последующих приближениях.

Задание 6

На станции А1, А2, А3 поступил однородный груз, который надо отвезти заказчикам В1, В2, В3. Потребности заказчиков, количество грузов на каждой станции и тарифы указаны в таблице.

Требуется спланировать перевозки так, чтобы общая сумма стоимости перевозок была наименьшей.

Указания.

1)    Установите, является ли модель транспортной задачи открытой или закрытой. Если модель открыта, закройте ее, введя фиктивного поставщика или потребителя.

2)    Постройте исходный опорный план транспортной задачи по правилу «северо-западного угла» и по правилу «минимального элемента».

Методом потенциалов проверьте, является ли опорный план, полученный по правилу «северо-западного угла», оптимальный, если это не так, составьте оптимальный план, обеспечивающий минимальную стоимость перевозок.